..::Vật Lý Việt Nam::..  


Trang Chủ Tạp Chí VLVN Thư Viện Thành Viên Xuất Sắc Bảng Xếp Hạng Theo Tháng Bản Rút Gọn
Trở lại   ..::Vật Lý Việt Nam::.. > Classical Physics - Vật lý cổ điển > Cơ học cổ điển
Ghi Danh Hỏi/ÐápLuật Diễn Đàn Thành Viên Lịch Tìm Kiếm Bài Trong Ngày Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Trả lời
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 15-06-2010, 10:38 AM   #1
einsteinidol
Super Moderator
 
einsteinidol's Avatar
 
Tham gia: Sep 2009
Quốc gia:
Giới tính: Male
Bài gửi: 767
einsteinidol is on a distinguished road
Chê bai: 15
Bị chê 23 lần trong 20 bài
Cám ơn: 71
Được cám ơn 275 lần trong 204 bài
Các phương pháp tính momen quán tính

Tính momen quán tính là một phần rất hay và thu hút trong cơ vật rắn. Việc tính momen quán tính thông thường là tích phân.
$I = sum_i m_i r_i^2$
Thông thường ta sẽ chuyển sum thành tích phân. Làm một ví dụ đơn giản để thấy được vấn đề: Tính momen quán tính của một hình cầu đặc đồng chất, bán kính R đối với tâm O của nó.
Giải:
Xét lớp cầu mỏng có bán kính$ r<R$, bề dày $dr$.Momen quán tính của lớp cầu này đối vs tâm O là:
$dI = dm r^2 = m/V * 4pir^2dr * r^2 = (3m)/(4 pi R^3) 4pi r^4 dr$
$I = (3m)/(4 pi R^3) 4pi int_0^R r^4 dr = (3mR^5)/(5R^3) = 3/5mR^2$
Đây là ví dụ đơn giản, trên thực tế việc dùng tích phân là phức tạp và dễ nhầm lẫn. Hơn nữa, theo chủ trương thì vật lý phổ thông càng hạn chế tích phân càng tốt, nên em xin trình bày vài cách tính để tránh tích phân.
Trước hết cần nắm một số momen quán tính phổ biến:
- Của vành tròn bán kính $R$ với trục vuông góc với mp vành: $I=mR^2$
- Của bản mỏng hình tròn hoặc hình trụ bán kính $R$ với trục quay vuông góc với mặt bản: $I = 1/2 mR^2$
- Của thanh dài $l $với trục quay là trung trực của thanh:$ I = 1/(12)ml^2$
- Của hình cầu bán kính $R $với trục quay qua tâm:$ I=2/5mR^2$

Sử dụng định lý về trục song song (định lý Stai- nơ – Huy- ghen)
phương pháp này dùng khi đã biết momen quán tính đi qua khối tâm.

$I_K = I_G + md^2$
$I_G$ là momen quán tính đối với trục đi qua khối tâm
$I_K $là momen quán tính đối với trục song song với trục qua khối tâm
$d$ là khoảng cách giữa 2 trục
Ví dụ:
Tính momen quán tính của thanh đồng chất khối lượng m dài l với trục đi qua một đầu thanh và vuông góc với thanh.
giải
Ta biết $I_G =1/12 ml^2$
Momen quán tính cần tính:
$I = 1/12 ml^2 + m(l/2)^2 = 1/3 ml^2$

Định lý về trục vuông góc:
Thường dùng cho các vật có dạng đối xứng. Ta sẽ tính momen quán tính đối với một điểm, sau đó sử dụng định lý.
Với ba trục $I_x, I_y, I_z$ đôi một vuông góc thì :
$I_z = I_x + I_y$

Ví dụ:
1. Tính momen quán tính của bản mỏng tròn bán kính R đối với trục trùng với đường kính của nó.
Giải
Ta đã biết momen quán tình với trục đi qua tâm vuông góc với mặt bản
$I_z = 1/2 mR^2 = I_x + I_y$
Dễ thấy $I_x = I_y = 1/2I_z = 1/4mR^2$
2. Tính momen quán tính của quả cầu rổng, khối lượng m, bán kính R đối với trục đi qua tâm.
giải
Momen quán tính đối với tâm O:
$I_O = sum m_i R^2= R^2 sum m_i = mR^2$
$I_O = sum m_i(x_i^2 + y_i^2 + z_i^2)$
Vì 3 trục tương đương nhau do đối xứng cầu nên
$I_O = 3sum m_i x_i^2$
$I_z = I_x + I_y = 2 sum m_i x_i^2$
$I_z = 2/3 I_O = 2/3mR^2$

Sử dụng tính cộng được của momen quán tính:
Phương pháp này sử dụng khi ta có thể chồng chập các vật có hình dạng giống nhau để tìm liên hệ
Ví dụ:
Một tấm mỏng hình bán trụ bán kính R, khối lượng m. Tìm momen quán tính của nó với trục đi qua tâm O vuôn góc với mặt phẳng của tấm.
giải
Ta ghép 2 tấm gióng nhau lại sẽ tạo được một hình trụ. Momen quán tính của nó
$I_O = ½ 2m R^2 = I_1 + I_2 =2 I_1$
Momen quán tính cần tính :
$I_1 = 1/2I_O = 1/2mR^2$

Sử dụng phương pháp tổng thể, thông qua momen động lượng
Phương pháp này thường được sử dụng với các mặt phẳng quay như dưới.
Ví dụ:
Tính momen quán tính của một tấm phẳng mỏng hình tròn bán kính R, khối lượng m với trục đi qua tâm hợp góc $alpha$ với mặt phẳng tấm.
giải
Giả sử tấm quay với vận tốc góc $vec(omega)$
Phân tích ra 2 thành phần
$omega_1 = omega sin alpha$
$omega_2 = omega cos alpha$
$L_1 = I_1 omega_1 = 1/2mR^2 omega sin alpha$
$L_2 = I_2 omega_2 = 1/4 mR^2 omega cos alpha $( $I_2$ tính từ định lý trục vuông góc)
$L = sqrt(L_1^2 + L_2^2) = (mR^2 omega)/2 sqrt(sin^2 alpha + 1/4cos^2alpha)$
Momen quán tính cần tính:
$I = L/omega = (mR^2)/2 sqrt(sin^2 alpha + 1/4cos^2alpha)$


Sử dụng định lý về tỉ xích và tính cộng được:
đây là một phương pháp rất hay
Ví dụ:
Tính momen quán tính của bản mỏng hình chữ nhật 2 cạnh là a,b với trục đi qua tâm vuông góc với bản.
Giải


Ta biết là$ I = summ_i r_i^2$
Từ hình vẽ ta thấy $I_O = sum m_i r_i^2 $thì
$I_(O_1) = sum m_i/4 (r_i/2)^2 =1/4*1/4 I_O = 1/(16)I_O$
$I_(O_1) $là momen quán tính của riêng hình chữ nhật nhỏ tâm $O_1$
Theo tính cộng được thì momen quán tính của hình chữ nhật nhỏ tâm $O_1$ bằng ¼ hình chữ nhật lớn. Theo Stai-nơ:
$1/4 I_O = I_(O_1) + m/4((a^2+b^2)/16) = 1/16I_O + m/4((a^2+b^2)/16)$
$=>I_O = m/12(a^2+b^2)$
Một số bài tập loại này cho các bạn:
Tính momen quán tính của hình lập phương cạnh a, trục quay là trục đi qua tâm 2 mặt đối nhau. Tương tự với các hình hộp chữ nhật, mặt phẳng tam giác...

Cuối cùng là biết sử dụng kết hợp các phương pháp một cách hợp lý, kể cả tích phân trong trường hợp đơn giản để đạt hiệu quả tốt. Have fun!
__________________
Logic take you from A to B, imagination take you everywhere
ALBERT EINSTEIN
my forum:http://vatlyvietnam.org/forum/
my bloghttp://tuyentran97.wordpress.com/
einsteinidol is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Các thành viên gửi lời cám ơn tới einsteinidol vì bài viết này:
atlantic_fly (04-12-2010), Bunhia (15-06-2010), dehin (15-06-2010), duykhanh_1994 (17-12-2011), huy9x3 (02-08-2010), Phv (04-12-2010), pththao (15-06-2010)
Old 15-06-2010, 03:54 PM   #2
pththao
forget me not
 
pththao's Avatar
 
Tham gia: Apr 2010
Cư trú: casablanca
Quốc gia:
Giới tính: Male
Bài gửi: 183
pththao is on a distinguished road
Chê bai: 2
Bị chê 0 lần trong 0 bài
Cám ơn: 95
Được cám ơn 135 lần trong 85 bài
Trích:
Nguyên văn bởi einsteinidol
Định lý về trục vuông góc:
Thường dùng cho các vật có dạng đối xứng. Ta sẽ tính momen quán tính đối với một điểm, sau đó sử dụng định lý.
Với ba trục $I_x, I_y, I_z$ đôi một vuông góc thì :
$I_z = I_x + I_y$

Định lý này hơi bị nghi ngờ Tại sao ba trục x,y,z lại bị đối xử khác nhau như thế. Mới đầu mình đoán là vật phải phẳng, nhưng sau thấy bạn áp dụng với mặt cầu!
Nếu đối với một vật không gian bạn luôn viết được ba hệ thức như vậy với ba trục, cộng lại suy ra tổng moment quán tính theo cả ba trục bằng 0
Trích:
Sử dụng phương pháp tổng thể, thông qua momen động lượng
Phương pháp này thường được sử dụng với các mặt phẳng quay như dưới.
Ví dụ:
Tính momen quán tính của một tấm phẳng mỏng hình tròn bán kính R, khối lượng m với trục đi qua tâm hợp góc $alpha$ với mặt phẳng tấm.
giải
Giả sử tấm quay với vận tốc góc $vec(omega)$
Phân tích ra 2 thành phần
$omega_1 = omega sin alpha$
$omega_2 = omega cos alpha$
$L_1 = I_1 omega_1 = 1/2mR^2 omega sin alpha$
$L_2 = I_2 omega_2 = 1/4 mR^2 omega cos alpha $( $I_2$ tính từ định lý trục vuông góc)
$L = sqrt(L_1^2 + L_2^2) = (mR^2 omega)/2 sqrt(sin^2 alpha + 1/4cos^2alpha)$
Momen quán tính cần tính:
$I = L/omega = (mR^2)/2 sqrt(sin^2 alpha + 1/4cos^2alpha)$

Thực ra bài toán này ngày trước đã có lần mình gặp và giải tương tự như thế. Tuy nhiên có gì đó vẫn không hiển nhiên ở đây. Việc phân tích moment xung lượng ra hai thành phần và tính riêng rẽ không phải được thực hiện một cách hiển nhiên, trong trường hợp tổng quát sẽ có crossing term, nghĩa là trục nó ảnh hưởng đến trục kia, mình đoán thế
pththao is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 16-06-2010, 09:46 AM   #3
einsteinidol
Super Moderator
 
einsteinidol's Avatar
 
Tham gia: Sep 2009
Quốc gia:
Giới tính: Male
Bài gửi: 767
einsteinidol is on a distinguished road
Chê bai: 15
Bị chê 23 lần trong 20 bài
Cám ơn: 71
Được cám ơn 275 lần trong 204 bài
Những cái này là kinh nghiệm của em và sưu tầm, nên em cũng khó mà giải thích.
Về định lý 3 trục vuông góc em cũng có nhiều thắc mắc. Nhưng trong sách nó viết thế, nó giải thế, em post thế . Ví như cái hình cầu, nếu $I_z = 2/3mR^2 $thì rõ ràng nó lớn hơn$ I_x$$I_z$, trong khi rõ ràng ta thấy là $I_x$ hay $I_z$ cũng bằng nhau tất. Cái định lý này được chứng minh thế này:
$I_z = sum m_i(x_i^2 + y_i^2) = sum m_i x_i^2 +sum m_i y_i^2 = I_x + I_y$
Phần nào ta hiểu được nó qua cách viết trên, có lẽ ta chỉ có thể chọn một hệ trục nhất định, và vật chỉ quay một chiều nhất định trong hệ trục đó.
Còn cái kia thì em chịu. Em thấy nó hợp lý rồi
__________________
Logic take you from A to B, imagination take you everywhere
ALBERT EINSTEIN
my forum:http://vatlyvietnam.org/forum/
my bloghttp://tuyentran97.wordpress.com/
einsteinidol is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 16-06-2010, 11:38 AM   #4
pththao
forget me not
 
pththao's Avatar
 
Tham gia: Apr 2010
Cư trú: casablanca
Quốc gia:
Giới tính: Male
Bài gửi: 183
pththao is on a distinguished road
Chê bai: 2
Bị chê 0 lần trong 0 bài
Cám ơn: 95
Được cám ơn 135 lần trong 85 bài
Nhìn qua chứng minh sẽ thấy nó chỉ đúng cho vật phẳng mà thôi, đúng như mình ngồi đoán mò ở trên. Trục Oz phải vuông góc với mặt đó. Có lẽ để dành câu hỏi tại sao cho bạn
Sách mà áp dụng cho hình cầu ư ?
pththao is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 16-06-2010, 02:02 PM   #5
cuprates
Member
 
Tham gia: May 2007
Cư trú: Viet Nam
Quốc gia:
Giới tính: Male
Bài gửi: 68
cuprates is on a distinguished road
Chê bai: 1
Bị chê 2 lần trong 2 bài
Cám ơn: 6
Được cám ơn 61 lần trong 33 bài
Trích:
Nguyên văn bởi pththao
Việc phân tích moment xung lượng ra hai thành phần và tính riêng rẽ không phải được thực hiện một cách hiển nhiên, trong trường hợp tổng quát sẽ có crossing term, nghĩa là trục nó ảnh hưởng đến trục kia, mình đoán thế

Chính xác là như vậy, trừ phi chứng minh được các trục là trục đối xứng, tức là Ixy=Ixz=Izy=0.
__________________
Searching for the simplicity of nature
cuprates is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 16-06-2010, 02:54 PM   #6
pththao
forget me not
 
pththao's Avatar
 
Tham gia: Apr 2010
Cư trú: casablanca
Quốc gia:
Giới tính: Male
Bài gửi: 183
pththao is on a distinguished road
Chê bai: 2
Bị chê 0 lần trong 0 bài
Cám ơn: 95
Được cám ơn 135 lần trong 85 bài
Thực ra em định nói thêm là $I_{\alpha \beta}$ một cách chặt chẽ thì định nghĩa trong hệ toạ độ chuyển động. Nhưng sợ làm eins kêu phức tạp hoá vấn đề Tốt hơn hết có lẽ là làm theo động năng của vật quay, eins nếu thích thì thử luôn ^^
pththao is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 16-06-2010, 05:12 PM   #7
einsteinidol
Super Moderator
 
einsteinidol's Avatar
 
Tham gia: Sep 2009
Quốc gia:
Giới tính: Male
Bài gửi: 767
einsteinidol is on a distinguished road
Chê bai: 15
Bị chê 23 lần trong 20 bài
Cám ơn: 71
Được cám ơn 275 lần trong 204 bài
đúng là phức tạp, em học vấn còn mu muội lắm. Hồi sáng đến giờ lật hết sách để tìm, cuối cùng cũng thấy. Bài hình cầu này trong sách Cơ học2 của thầy Tô Giang đấy anh.
__________________
Logic take you from A to B, imagination take you everywhere
ALBERT EINSTEIN
my forum:http://vatlyvietnam.org/forum/
my bloghttp://tuyentran97.wordpress.com/
einsteinidol is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 16-06-2010, 08:19 PM   #8
nguyen van ha
Kẻ Vô Danh
 
nguyen van ha's Avatar
 
Tham gia: Dec 2008
Cư trú: the light of hell
Quốc gia:
Giới tính: Male
Bài gửi: 82
nguyen van ha is on a distinguished road
Chê bai: 5
Bị chê 2 lần trong 2 bài
Cám ơn: 13
Được cám ơn 22 lần trong 19 bài
Send a message via Yahoo to nguyen van ha
Trích:
Nguyên văn bởi einsteinidol
Cái định lý này được chứng minh thế này:
$I_z = sum m_i(x_i^2 + y_i^2) = sum m_i x_i^2 +sum m_i y_i^2 = I_x + I_y$

Cái chứng minh này chỉ đúng với vật phẳng nằm trong mặt phẳng chứa trục x và y thôi mà, làm sao áp dụng vs bài này dc.
Vs lại lời giải bài này trong sách của thầy Tô cũng ko dùng cái định lý này
@ ót ca: tại em dùng opera, ko hiển thị dc công thức nên em mới ngại viết dài dòng, bác xóa bài mạnh tay thế
__________________

nguyen van ha is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 20-11-2010, 10:00 AM   #9
phatmo
Member
 
Tham gia: Jun 2010
Quốc gia:
Giới tính: Male
Bài gửi: 79
phatmo is on a distinguished road
Chê bai: 0
Bị chê 0 lần trong 0 bài
Cám ơn: 4
Được cám ơn 26 lần trong 22 bài
Trích:
Nguyên văn bởi einsteinidol
Sử dụng phương pháp tổng thể, thông qua momen động lượng
Phương pháp này thường được sử dụng với các mặt phẳng quay như dưới.
Ví dụ:
Tính momen quán tính của một tấm phẳng mỏng hình tròn bán kính R, khối lượng m với trục đi qua tâm hợp góc $alpha$ với mặt phẳng tấm.
giải
Giả sử tấm quay với vận tốc góc $vec(omega)$
Phân tích ra 2 thành phần
$omega_1 = omega sin alpha$
$omega_2 = omega cos alpha$
$L_1 = I_1 omega_1 = 1/2mR^2 omega sin alpha$
$L_2 = I_2 omega_2 = 1/4 mR^2 omega cos alpha $( $I_2$ tính từ định lý trục vuông góc)
$L = sqrt(L_1^2 + L_2^2) = (mR^2 omega)/2 sqrt(sin^2 alpha + 1/4cos^2alpha)$
Momen quán tính cần tính:
$I = L/omega = (mR^2)/2 sqrt(sin^2 alpha + 1/4cos^2alpha)$

Mình thấy cách làm này hình như có vấn đề. Kết quả khác với khi dùng tích phân
phatmo is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-12-2010, 01:49 PM   #10
phatmo
Member
 
Tham gia: Jun 2010
Quốc gia:
Giới tính: Male
Bài gửi: 79
phatmo is on a distinguished road
Chê bai: 0
Bị chê 0 lần trong 0 bài
Cám ơn: 4
Được cám ơn 26 lần trong 22 bài
Mọi người giúp mình vấn đề trên với
phatmo is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-12-2010, 08:24 PM   #11
werty98
P<=NP!
 
Tham gia: May 2006
Quốc gia:
Giới tính: Male
Bài gửi: 220
werty98 is on a distinguished road
Chê bai: 1
Bị chê 6 lần trong 5 bài
Cám ơn: 15
Được cám ơn 91 lần trong 66 bài
Nhớ nhiều trường hợp/phương pháp thế này không phải là cách học vật lý hiệu quả. Chỉ cần nhớ công thức cơ bản (tích phân) là đủ, gặp bài cụ thể cứ vận dụng biến đổi toán học là có cách giải phù hợp, không nhất thiết là phải tính tường minh tích phân ra.
__________________


Werty đã ký.
werty98 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 05-12-2010, 01:05 AM   #12
pththao
forget me not
 
pththao's Avatar
 
Tham gia: Apr 2010
Cư trú: casablanca
Quốc gia:
Giới tính: Male
Bài gửi: 183
pththao is on a distinguished road
Chê bai: 2
Bị chê 0 lần trong 0 bài
Cám ơn: 95
Được cám ơn 135 lần trong 85 bài
Trích:
Nguyên văn bởi phatmo
Mọi người giúp mình vấn đề trên với

Bạn phải viết cụ thể ra bạn tích phân thế nào thì mọi người mới giúp được chứ!
pththao is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 05-12-2010, 10:58 AM   #13
phatmo
Member
 
Tham gia: Jun 2010
Quốc gia:
Giới tính: Male
Bài gửi: 79
phatmo is on a distinguished road
Chê bai: 0
Bị chê 0 lần trong 0 bài
Cám ơn: 4
Được cám ơn 26 lần trong 22 bài
Nếu chúng ta tính bằng tích phân 2 lớp: Xét hệ trục Oxyz, tấm phẳng nằm trong (Oxy) tâm tại O, lấy trục là \Denta nằm trong (Oyz) pt z=y.tan alpha
$I=\frac{m}{pi.R^2}.\int{-R}_{R} dx \int{-sqrt{R^2-x^2}}_{sqrt{R^2-x^2}} x^2+y^2.sin alpha dy
Kết quả là (1+(sin alpha)^2)mR^2/4 khác với kết quả trên.
Mình thấy cách trên ra kết quả khác là vì cho rằng vec{L} va vec{omega} cùng phương
phatmo is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 05-12-2010, 11:26 PM   #14
pththao
forget me not
 
pththao's Avatar
 
Tham gia: Apr 2010
Cư trú: casablanca
Quốc gia:
Giới tính: Male
Bài gửi: 183
pththao is on a distinguished road
Chê bai: 2
Bị chê 0 lần trong 0 bài
Cám ơn: 95
Được cám ơn 135 lần trong 85 bài
À, đúng thế thật Do tác giả chia $L$ cho $\omega$, coi như chúng cùng phương. Để tránh khó khăn đó bạn có thể dùng đông năng K1, K2, cộng chúng lại và chia cho $\omega^2/2$ bình phương. Lần này chắc sẽ như bạn mong muốn.
pththao is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Các thành viên gửi lời cám ơn tới pththao vì bài viết này:
phatmo (06-12-2010)
Trả lời


Ðang đọc: 1 (0 thành viên và 1 khách)
 
Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quyền Sử Dụng Ở Diễn Ðàn
Bạn không được quyền gởi bài
Bạn không được quyền gởi trả lời
Bạn không được quyền gởi kèm file
Bạn không được quyền sửa bài

vB code đang Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt
Chuyển đến

Chủ đề tương tự
Ðề tài Người gửi Forum Trả lời Bài viết mới
Thuyết mới về vật lý học "Vật lý : Hạt -Trường thống nhất" duytho 1001 câu chuyện liên quan đến Vật lý 2 01-02-2010 12:26 PM
Nhìn lại những giải Nobel về Vật lí 1901-2004 you know who Lịch sử và danh nhân Vật lý 13 06-07-2006 12:11 AM




Powered by vBulletin, PhysicsVN Community
Copyright ©2014 All Rights Reserved.